菲尔兹奖得主Martin Hairer于2017年9月在海德堡桂冠论坛上讨论了双信封悖论。
让我们来玩一个游戏：桌子上有两个信封，其中一个信封内包含一定金额的钱，另一个信封内的金额为它的两倍。但你不知道这两个信封内各自包含的金额。你可以拿走其中一个，让这个信封中的现金归你。但在你打开信封之前，你还有一次改变选择的机会。那么，你应该坚持你最初选择呢？还是选择另一个信封？
如果你无法做出决定，那不妨借助数学来找出答案。我们可以计算一下换与不换信封，你所能得到金额的期望值。在概率论中，期望值是一个理想化的平均值，它反映的是某件事物可能结果的概率。先假设你选中的信封中金额数为x，那么这意味着另一个信封中装的金额要么是2x，要么是x/2，这两种金额的概率都是1/2。所以如果换掉信封的话，你所得金额的期望值为
很显然，这个结果大于x，所以应该换。
但这样一来，一个矛盾点就出现了。如果在你换了一次信封之后还能再换一次呢？那么按照上述结论，你应该继续换回来。如果还有第三次、第四次、第五次……无数次这样切换信封的机会，难道你应该永不停止地交换吗？如果这样的话，最终你将被困在一个无限循环的交换过程中，并且一分钱也得不到。这便是概率论中的一个著名悖论：双信封悖论。
那么，刚才的推论是不是有什么问题？
【一个解决方法】
我们将最先选择的信封标记为A，含有金额x；剩下的信封标记为B。值得注意的地方是——在你还没有将信封A打开前，x并不是一个固定的量，而是一个随机变量。它可以是一大一小两个金额中的任意一个。如果将较小的金额写作y，那么较大的金额数值则为2y。因为A是你随机选择的信封，因此A里含有较大或较小金额的概率都为50%。这意味着信封A中的期望金额E(A)是
之前我们说过，信封B中的期望金额是
但记住，x不是一个定值，它可以取两个值中的任意一个。如果信封B中含有的金额数值为2x，那么信封A则装有较少的金额，在这种情况下x = y。如果信封B中的金额为x/2，那么信封A则装有较大的金额，在这种情况下x = 2y。
所以在上面的等式中，第一个x真正代表的是y，而第二个x则代表2y。也就是说，等式中的两个x实际上是不同的，所以根本就不该被加起来，从而得到5x/4这一期望值。
我们需要用y来代替等式中第一次出现的x，用2y来代替第二个x，得到
这样一来E(A)= E(B)，也就是说交换信封不会带来收益，坚持最初的选择或切换都不会产生任何影响，也就不存在什么悖论。
【如果你打开了A？】
如果换一种场景，你在选择A之后就将其打开，并且看到了里面所含的金额。在这种情况下，x就变成了定值。那么在信封B中的金额只有两种可能：要么是2x，要么x/2；这两者的概率均为50%。因此我们可以算出信封B中的期望金额为
在得知信封A中所含金额的情况下，这一等式才是正确的。它告诉我们的是，就平均值来说，切换信封是更优的选择，悖论也不会出现。如果在换成信封B之后，你能还得到一次换回来的机会你也不会再换，因为你已知了信封A里的金额少于B的期望金额，因此不会再换。
这个悖论之所以存在于文章开头所描述的版本中，就是因为我们都一视同仁的看待这两个信封——即它是一种对称情况。但是一旦你打开信封 A，对称性就遭到了破坏。
值得注意的是，当你打开信封A，并得知金额x，这就很可能改变你对信封B中是装有的是2x还是x/2的概率的看法。例如，如果x是一个非常大的金额，那么你可能会更倾向于猜测信封B中不太可能包含双倍的金额2x。我们将p记为信封A中含有较大数额的概率，那么信封B中的期望金额E(B)则变为
这样我们就会发现，当且仅当p < 2/3 时，E(B)大于 x。换句话说，只要你确信A中所含金额为较大的概率值小于2/3，就应该切换信封。
对于一部分人而言，上述的方法足以解决双信封悖论，但并非所有人对此都能表示同意。在关于这一问题的思考上，人们已经花费了大量的时间和笔墨了。
